Question

如图1，在△ABC，∠A=45°，延长CB至D，使得BD=BC．

（1）若∠ACB=90°，求证：BD=AC；

（2）如图2，分别过点D和点C作AB所在直线的垂线，垂足分别为E、F，求证：DE=CF；

（3）如图3，若将（1）中“∠ACB=90°”去掉，并在AB延长线上取点G，使得∠1=∠A”．试探究线段AC、DG的数量与位置关系．

　

Answer 1

（1）证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，

∵BD=BC，∴BD=AC；

（2）证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠E=∠CFB=90°，

∵∠DBE=∠CBF，BD=BC，∴△DBE≌△CBF（AAS），∴DE=CF；

（3）解：DG=AC，DG⊥AC．

证明：过点C作CE∥DG交AB于点E，∴∠2=∠3，

∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，∴∠1=∠4，∵∠1=∠A，∴∠4=∠A，∴AC=CE，

∵BD=BC，∠EBC=∠GBD，∠2=∠3，

∴△DBG≌△CBE（AAS），∴CE=DG，∴DG=AC．

∵∠A=45°，∴∠4+∠A=90°，∴∠ACE=90°，∴AC⊥CE，∴AC⊥DG．

∴DG=AC，DG⊥AC．