题目内容
如图1，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点为A（0，3），交x轴于点B、C（点B在点C的左侧，）顶点为E（1，4），过点A作x轴的平行线AL，
（1）求抛物线的解析式及B点的坐标；
（2）点P从顶点E出发沿对称轴右侧的抛物线运动，过点P作直线PQ平行于y轴交直线AL于点Q，保持点Q以每秒1个单位的速度向右运动，同时点R从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒，
①若点P在直线AL的下方，当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOR相似？
②当t=0时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，如图2，是否还存在另外的t值，使以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求出t的值，并直接写出该梯形的面积；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线的解析式及B点的坐标；
（2）点P从顶点E出发沿对称轴右侧的抛物线运动，过点P作直线PQ平行于y轴交直线AL于点Q，保持点Q以每秒1个单位的速度向右运动，同时点R从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒，
①若点P在直线AL的下方，当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOR相似？
②当t=0时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，如图2，是否还存在另外的t值，使以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求出t的值，并直接写出该梯形的面积；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据顶点坐标设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，然后把点A的坐标代入求出a的值即可得解，再令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点B的坐标；
（2）①先求出抛物线的对称轴解析式，再根据点P、R的速度求出AQ，OR，利用抛物线解析式表示出PQ，再分AQ和AO是对应边，AQ和OR是对应边，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到t的值；
②点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，根据点C的坐标求出时间，然后表示出AQ、PR，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解；AP∥QR时，根据两直线平行，内错角相等可得∠APQ=∠PQR，设PQ与x轴相交于D，从而得到△APQ和△RQD相似，然后表示出AQ、RD，再根据抛物线解析式表示出PQ，利用相似三角形对应边成比例列式求出时间t，再根据梯形的面积=S△APQ+S△PQR，列式计算即可得解．
（2）①先求出抛物线的对称轴解析式，再根据点P、R的速度求出AQ，OR，利用抛物线解析式表示出PQ，再分AQ和AO是对应边，AQ和OR是对应边，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到t的值；
②点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，根据点C的坐标求出时间，然后表示出AQ、PR，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解；AP∥QR时，根据两直线平行，内错角相等可得∠APQ=∠PQR，设PQ与x轴相交于D，从而得到△APQ和△RQD相似，然后表示出AQ、RD，再根据抛物线解析式表示出PQ，利用相似三角形对应边成比例列式求出时间t，再根据梯形的面积=S△APQ+S△PQR，列式计算即可得解．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入，得，a+4=3，
解得，a=-1，
所以，函数的解析式为，y=-（x-1）2+4，
即：y=-x2+2x+3，
在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得，x=-1或3，
所以，B点的坐标是（-1，0）；
（2）①∵y=-（x-1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点Q的速度为每秒1个单位，点R的速度为每秒2个单位，
∴AQ=t+1，OR=2t，
∵点P在抛物线上，PQ∥y轴，
∴PQ=3-[（-（t+1）2+2（t+1）+3]=（t+1）2-2（t+1），
若AQ和AO是对应边，∵△AQP∽△AOR，
∴
=
，
即
=
，
解得t=3，
若AQ和OR是对应边，∵△AQP∽△ROA，
∴
=
，
即
=
，
整理得，2t2-2t-3=0，
解得t1=
，t2=
（舍去），
综上所述，t=
或3时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOR相似；
②当点P在x轴上即点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，
∵点C的坐标为（3，0），
∴AQ=t+1=3，
解得t=2，
∴AQ=2+1=3，PR=OR-OP=2×2-3=1，
S梯形AQRP=
（3+1）×3=6；
AP∥QR时，∠APQ=∠PQR，
设PQ与x轴相交于D，
又∵∠AQP=∠RDQ=90°，
∴△APQ∽△RQD，
∵AQ=t+1，RD=OR-OD=2t-（t+1）=t-1，
PQ=（t+1）2-2（t+1），
∴
=
，
即
=
，
整理得，（t-1）2=3，
解得t=1+
或t=1-
（舍去），
此时，PQ=（1+
+1）2-2（1+
+1）=2
+3，
AQ=1+
+1=2+
，
RD=1+
-1=
，
梯形的面积=S△APQ+S△PQR，
=
×（2+
）×（2
+3）+
×（2
+3）×
，
=
×（2
+3）×（2+
+
），
=（2
+3）×（1+
），
=2
+6+3+3
，
=9+5
．
综上所述，t=2时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，面积是6，
t=1+
时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，面积是9+5
．
把（0，3）代入，得，a+4=3，
解得，a=-1，
所以，函数的解析式为，y=-（x-1）2+4，
即：y=-x2+2x+3，
在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得，x=-1或3，
所以，B点的坐标是（-1，0）；
（2）①∵y=-（x-1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点Q的速度为每秒1个单位，点R的速度为每秒2个单位，
∴AQ=t+1，OR=2t，
∵点P在抛物线上，PQ∥y轴，
∴PQ=3-[（-（t+1）2+2（t+1）+3]=（t+1）2-2（t+1），
若AQ和AO是对应边，∵△AQP∽△AOR，
∴
| AQ |
| AO |
| PQ |
| OR |
即
| t+1 |
| 3 |
| (t+1)2-2(t+1) |
| 2t |
解得t=3，
若AQ和OR是对应边，∵△AQP∽△ROA，
∴
| AQ |
| OR |
| PQ |
| AO |
即
| t+1 |
| 2t |
| (t+1)2-2(t+1) |
| 3 |
整理得，2t2-2t-3=0，
解得t1=
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
综上所述，t=
1+
| ||
| 2 |
②当点P在x轴上即点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，
∵点C的坐标为（3，0），
∴AQ=t+1=3，
解得t=2，
∴AQ=2+1=3，PR=OR-OP=2×2-3=1，
S梯形AQRP=
| 1 |
| 2 |
AP∥QR时，∠APQ=∠PQR，
设PQ与x轴相交于D，
又∵∠AQP=∠RDQ=90°，
∴△APQ∽△RQD，
∵AQ=t+1，RD=OR-OD=2t-（t+1）=t-1，
PQ=（t+1）2-2（t+1），
∴
| AQ |
| RD |
| PQ |
| QD |
即
| t+1 |
| t-1 |
| (t+1)2-2(t+1) |
| 3 |
整理得，（t-1）2=3，
解得t=1+
| 3 |
| 3 |
此时，PQ=（1+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
AQ=1+
| 3 |
| 3 |
RD=1+
| 3 |
| 3 |
梯形的面积=S△APQ+S△PQR，
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
=（2
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| 3 |
=9+5
| 3 |
综上所述，t=2时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，面积是6，
t=1+
| 3 |
| 3 |
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，梯形的对边的性质，（1）利用顶点式形式求解更加简便，（2）难点在于两个小题都要分情况讨论．
练习册系列答案
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如图，将抛物线