Question

【题目】如图所示，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，设运动时间为．

（1）当为何值时，；

（2）当，求的值；

（3）能否与相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．

（2）我们先看当=时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．

（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．

解：（1）由题意得，平行于，则，，，

∴，

∴.

（2）∵，

∴，，

∴时间用了秒，，

∵由（1）知，此时平行于，

∴，相似比为，

∴.

∴四边形与三角形面积比为，即，

又∵，即，

∴，

∴.

（3）假设两三角形可以相似.

情况1：当时，，即有解得，

经检验，是原分式方程的解．

此时，

情况2：当时，，即有解得，

经检验，是原分式方程的解．

此时．

综上所述，或．