Question

对于给定的抛物线y=x²+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）
（1）证明：抛物线y=x²+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x²+ax+b=0与x²+px+q=0中至少有一个方程有实数解．

Answer 1

证明：（1）由ap=2（b+q），得q=

ap

2

-b，代入抛物线y=x²+px+q，
得：-y+x²-b+p（x+

a

2

）=0，
得

x+ a 2 =0 -y+x2-b=0

，
解得：

x=- a 2 y= a2-4b 4

，
故抛物线y=x²+px+q通过定点（-

a

2

，

a2-4b

4

）．

（2）由2q=ap-2b得p²-4q=p²-2•2q=p²-2（ap-2b）=（p-a）²-（a²-4b），
∴（p²-4q）+（a²-4b）=（p-a）²≥0，
∴p²-4q，a²-4b中至少有一个非负，
∴x²+ax+b=0与x²+px+q=0中至少有一个方程有实数解．