Question

对于给定的抛物线y=x²+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）
（1）证明：抛物线y=x²+px+q通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，x²+ax+b=0与x²+px+q=0中至少有一个方程有实数解．

Answer 1

证明：（1）由ap=2（b+q），得q=-b，代入抛物线y=x²+px+q，
得：-y+x²-b+p（x+）=0，
得，
解得：，
故抛物线y=x²+px+q通过定点（-，）．

（2）由2q=ap-2b得p²-4q=p²-2•2q=p²-2（ap-2b）=（p-a）²-（a²-4b），
∴（p²-4q）+（a²-4b）=（p-a）²≥0，
∴p²-4q，a²-4b中至少有一个非负，
∴x²+ax+b=0与x²+px+q=0中至少有一个方程有实数解．
分析：（1）由已知求得q=-b，代入抛物线y=x²+px+q，得y=x²+px+-b，将抛物线y=x²+ax+b的顶点横坐标x=-代入可求y的值，确定结果为顶点纵坐标即可；
（2）方程x²+ax+b=0与x²+px+q=0的判别式分别为a²-4b，p²-4q，由2q=ap-2b可得出两个判别式的和为非负数，可知其中至少有一个判别式为非负数，故至少有一个方程有实数解．
点评：本题考查了抛物线上的点及顶点的坐标特点，判别式判断一元二次方程解的运用，明确两个数的和为非负数时，其中至少有一个数为非负数．