Question

观察下面计算：
情形1：2×

2

1

=4，2+

2

1

=4；    情形2：3×

3

2

=

9

2

，3+

3

2

=

9

2

；情形3：4×

4

3

=

16

3

，4+

4

3

=

16

3

；…
（1）根据上述规律，写出情形n；
（2）根据共同特征，写出你的猜想，并证明你的猜想的正确性．

Answer 1

分析：（1）根据上述规律得到：（n+1）•

n+1

n

=n+1+

n+1

n

（n≥1，n为正整数）；
（2）等式左边利用乘法法则计算，分子利用完全平方公式展开，右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，可得出左边等于右边，得证．

解答：解：（1）根据上述规律，得到（n+1）•

n+1

n

=n+1+

n+1

n

（n≥1，n为正整数）；
（2）等式左边=

(n+1)2

n

=

n2+2n+1

n

，右边=

n(n+1)+n+1

n

=

n2+2n+1

n

，
∴左边=右边，得证．

点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．