题目内容
在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB：DC=1：2，对角线AC、BD交于点E，过E作EF⊥AD于F．求证：点F是AD的三等分点．
考点：直角梯形,相似三角形的判定与性质
专题：
分析：首先证明
=
；证明△AEF∽△ACD，得到
=
=
，问题即可解决．
| AE |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AF |
| AD |
| AE |
| AC |
| 1 |
| 3 |
解答：
证明：∵AB∥DC，∠A=90°，
∴△AEB∽△CED，∠ADC=90°，
∴
=
，而
=
，
∴
=
，
=
；
∵∠ADC=90°，EF⊥AD，
∴EF∥DC，
∴△AEF∽△ACD，
∴
=
=
，
∴点F是AD的三等分点．
证明：∵AB∥DC，∠A=90°，∴△AEB∽△CED，∠ADC=90°，
∴
| AE |
| EC |
| AB |
| DC |
| AB |
| DC |
| 1 |
| 2 |
∴
| AE |
| EC |
| 1 |
| 2 |
| AE |
| AC |
| 1 |
| 3 |
∵∠ADC=90°，EF⊥AD，
∴EF∥DC，
∴△AEF∽△ACD，
∴
| AF |
| AD |
| AE |
| AC |
| 1 |
| 3 |
∴点F是AD的三等分点．
点评：该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
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