Question

已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点．

（1）如图，若AC=4，BC=6，求CF的长；
（2）若AB=16CF，求

AC

CB

的值；
（3）若AC＞BC，AC-BC=a，取DC的中点D₁，CE的中点E₁，D₁E₁的中点F₁，则CF₁=

 

．（用含a的代数式表示）

Answer 1

考点：两点间的距离

专题：计算题

分析：（1）由D为AC的中点，E为BC的中点得到DC=

1

2

AC=2，CE=

1

2

BC=3，则可计算出DE=5，再利用F为DE的中点得到DF=

1

2

DE=

5

2

，然后利用CF=DF-DC求解；
（2）设AC=x，BC=y，易得DE=DC+CE=

1

2

（x+y），再计算出DF=

1

2

DE=

1

4

（x+y），所以CF=DF-DC=

1

4

（y-x），接着利用AB=16CF得到x+y=16•

1

4

（y-x），化简后有5x=3y，然后利用比例性质即可得到

AC

CB

的值；
（3）如图，设AC=x，BC=y，即x-y=a，利用线段中点定义得到DC=

1

2

x，CE=

1

2

y，则D₁C=

1

4

x，CE₁=

1

4

y，所以D₁E₁=

1

4

（x+y），再利用D₁E₁的中点为F₁得到D₁F₁=

1

2

D₁E₁=

1

8

（x+y），于是可计算出F₁C=D₁C-D₁F₁=

1

8

（x-y），即有F₁C=

1

8

a．

解答：解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=

1

2

AC=2，CE=

1

2

BC=3，
∴DE=DC+CE=2+3=5，
∵F为DE的中点，
∴DF=

1

2

DE=

5

2

，
∴CF=DF-DC=

5

2

-2=

1

2

；
（2）设AC=x，BC=y，则DC=

1

2

AC=

1

2

x，CE=

1

2

BC=

1

2

y，
∴DE=DC+CE=

1

2

（x+y），
∵F为DE的中点，
∴DF=

1

2

DE=

1

4

（x+y），
∴CF=DF-DC=

1

4

（x+y）-

1

2

x=

1

4

（y-x）；
∵AB=16CF，
∴x+y=16•

1

4

（y-x），
∴5x=3y，
∴

x

y

=

3

5

，
即

AC

CB

的值为

3

5

；
（3）如图，

设AC=x，BC=y，即x-y=a，则DC=

1

2

AC=

1

2

x，CE=

1

2

BC=

1

2

y，
∵DC的中点为D₁，CE的中点为E₁，
∴D₁C=

1

2

CD=

1

4

x，CE₁=

1

2

CE=

1

4

y，
∴D₁E₁=

1

4

（x+y），
∵D₁E₁的中点为F₁，
∴D₁F₁=

1

2

D₁E₁=

1

8

（x+y），
∴F₁C=D₁C-D₁F₁=

1

4

x-

1

8

（x+y）=

1

8

（x-y），
∴F₁C=

1

8

a．
故答案为

1

8

a

点评：本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键．