Question

如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6，AD=2CD，
①求E到BC的距离EH的长．
②求BE的长．

Answer 1

分析：（1）先根据平行线的性质得出∠A=∠DCE，再由相似三角形的判定定理即可得出结论；
（2）①过点E作EH⊥BF于点H，由AB=6，AD=2CD可得出CE的长，再根据∠A=∠DCE可得出∠ECH的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论；
②由锐角三角函数的定义求出CH的长，再根据勾股定理得出BE的长即可．

解答：解；（1）∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE，
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△CED；

（2）①过点E作EH⊥BF于点H，
∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，
∴

AB

CE

=

AD

CD

=

2

1

，∠A=∠ACB=60°，
∴CE=3，
∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE=60°，
∴∠ECH=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
∴EH=CE•sin60°=3×

3

2

=

3 3

2

；
②在Rt△ECH中，
∵∠ECH=60°，CE=3，
∴CH=CE•cos60°=3×

1

2

=

3

2

，
∴BH=BC+CH=6+

3

2

=

15

2

，
∴BE=

EH2+BH2

=

( 3 3 2 )2+( 15 2 )2

=3

7

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．