题目内容

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B坐标为 $数学公式$ ，BC∥y轴且与x轴交于点C，直线OB与直线AC相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）若以点O为圆心，OP的长为半径作⊙O（如图2），求证：直线AC与⊙O相切于点P；
（3）过点B作BD∥x轴与y轴相交于点D，以点O为圆心，r为半径作⊙O，使点D在⊙O内，点C在⊙O外；以点B为圆心，R为半径作⊙B，若⊙O与⊙B相切，试分别求出r，R的取值范围．

（1）解：设直线OB的解析式为y=k₁x，
∵点B（2 $\text{[math]}$ ，2）在直线OB上，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴直线OB的解析式为y= $\text{[math]}$ x，
设直线AC的解析式为y=k₂x+6，
∵点C（2 $\text{[math]}$ ，0）在直线AC上，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴直线AC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+6，
直线AC与直线OB的交点P满足方程组
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标为 $\text{[math]}$ ；

（2）证明：∵ $\text{[math]}$ ，
∴∠OAC=30°，∠ACO=60°，
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴∠BOC=30°又∠ACO=60°，
∴∠OPC=90°，
故以OP为半径的⊙O与直线AC相切于点P；

（3）解：∵D点坐标为（0，2），C点坐标为（2 $\text{[math]}$ ，0），
要使点D在⊙O内，点C在⊙O外，则⊙O的半径r应满足 $\text{[math]}$ ，
∵在Rt△BOC中，∠BOC=30°，BC=2，
∴OB=4，
∵⊙O与⊙B相切，故有R+r=4或R-r=4，
从而有R=4-r或R=4+r，
∵2 $\text{[math]}$ ，
∴4-2 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设直线OB的解析式为y=k₁x，可得 $\text{[math]}$ ，所以直线OB的解析式为y= $\text{[math]}$ x；设直线AC的解析式为y=k₂x+6，根据点C（2 $\text{[math]}$ ，0）在直线AC上得 $\text{[math]}$ ，所以直线AC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+6，直线AC与直线OB的解析式联立方程组，解得点P的坐标；
（2）利用三角函数值求得∠BOC=30°，又∠ACO=60°所以∠OPC=90°，故以OP为半径的⊙O与直线AC相切于点P；
（3）D点坐标为（0，2），C点坐标为（2 $\text{[math]}$ ，0），要使点D在⊙O内，点C在⊙O外，则⊙O的半径r应满足 $\text{[math]}$ ，因为⊙O与⊙B相切，故R=4-r或R=4+r，结合2 $\text{[math]}$ 可知4-2 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．

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