Question

已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形，求此时△AQP的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理得出AB，因为AP=5-t，AQ=2t，则可证明△APQ∽△ABC，即可求得t；
（2）过点P作PH⊥AC于H．由△APH∽△ABC，得，然后根据三角形的面积公式，从而求得y与t的函数关系式；
（3）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，根据菱形的性质得PQ=PC，易知△PBN∽△ABC．则可得出PN=QM=CM，求得t，即可求得△AQP的面积．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，
若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴=，
∴，
∴．

（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴，
∴．

（3）如图②过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
由于四边形PQP′C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∴当s时，
∴AQ=，
易知△APM∽△ABC．
=，
=，
∴PM=，
此时△AQP的面积y=××=．
点评：本题是一道几何与代数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识点，是中考压轴题，难度偏大．