Question

根据所给的基本材料，请你进行适当的处理，编写一道综合题．
编写要求：①提出具有综合性、连续性的三个问题；②给出正确的解答过程；③写出编写意图和学生答题情况的预测．
材料①：如图，先把一矩形纸片ABCD对折，得到折痕MN，然后把B点叠在折痕线上，得到△ABE，再过点B把矩形ABCD第三次折叠，使点D落在直线AD上，得到折痕PQ．当沿着BE第四次将该纸片折叠后，点A就会落在EC上．

材料②：已知AC是∠MAN的平分线．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
则AB+AD=

 

AC（用含α的三角函数表示）．

材料③：
已知：如图甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，设运动的时间为t（s）（0＜t＜2）．

编写试题选取的材料是

 

（填写材料的序号）
编写的试题是：（1）设△AQP的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式．
（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值．
（3）如图（2），连接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C．是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长．
试题解答（写出主要步骤即可）：（1）过点Q作QD⊥AP于点D，证△AQD∽△ABC，利用相似性质及面积解答；
（2）分别求得Rt△ACB的周长和面积，由周长求出t，代入函数解析式验证；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，联立方程，求得t，再代入PC解得答案．

Answer 1

分析：（1）过点Q作QD⊥AP于点D，利用相似三角形的判定与性质和三角形的面积解答；
（2）求得三角形的周长和面积，建立方程求得t，再代入函数解析式验证即可；
（3）由余弦定理分别用t表示PC、PQ，联立方程解决问题．

解答：解：（1）过点Q作QD⊥AP于点D，则易证△AQD∽△ABC，
∴AQ：QD=AB：BC，
∴2t：DQ=5：3，
∴DQ=

6

5

t，
∴S_△APQ=

1

2

×AP×QD=

1

2

（5-t）×

6

5

t，
∴y与t之间的函数关系式为：y=-

3

5

t²+3t；

（2）Rt△ACB的周长=3+4+5=12，Rt△ACB的面积=

1

2

×3×4=6，PQ恰好把Rt△ACB的周长平分．
即有AP+AQ=12÷2=6，即2t+5-t=6得t=1，PQ恰好把Rt△ACB的面积平分，
即有S_APQ=

1

2

×6=3；即y=-

3

5

t²+3t=3，
显然，代入t=1等式不成立，
所以不存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分；

（3）由题意可以知道，四边形PQP'C为菱形，那么PC=PQ，
因为 PC²=PB²+CB²-2×PB×CB×cosB，
（由图知道cosB=0.6）=t²+3²-2t×3×0.6，
PQ²=AP²+AQ²-2×AP×AQ×cosA，
（由图知道cosA=0.8）=（5-t）²+（2t）²-2×（5-t）×2t×0.8，
∵PC=PQ，即t²+3²-2t×3×0.6=（5-t）²+（2t）²-2×（5-t）×2t×0.8），
解得t₁=2（因为0＜t＜2舍去），t₂=

10

9

，
把t=

10

9

代入，PC²=t²+3²-2t×3×0.6，
解得PC=

505

9

；
因此菱形的边长为

505

9

cm．

点评：此题综合考查三角形的面积、勾股定理、余弦定理以及菱形的性质等知识．