题目内容

如图，△ABC中，AB=5，BC=6，BD= $数学公式$ BC，AD⊥BC于D，E为AB延长线上的一点，且EC交AD的延长线于F．
（1）设BE为x，DF为y，试用x的式子表示y．
（2）当∠ACE=90°时，求此时x的值．

解：（1）过B作BG∥AF交EC于G，

则△CDF∽△CBG，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
在Rt△ABD中，可得 $\text{[math]}$ ，
又∵△EGB∽△EFA，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；

（2）当∠ACE=90°时，则有∠FCD=∠DAC，
∴Rt△ADC∽Rt△CDF，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴CD²=AD•DF，
∴16= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
代入 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）过B作BG∥AF交BCEC于G，则可以得到△CDF∽△CBG，接着利用相似三角形的性质得到 $\text{[math]}$ ，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得 $\text{[math]}$ ，又△EGB∽△EFA，由此利用相似三角形的性质即可求出y与x的函数关系；
（2）当∠ACE=90°时，则有∠FCD=∠DAC，由此得到Rt△ADC∽Rt△CDF，接着利用相似三角形的性质得到CD²=AD•DF，所以16= $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ ，即可求出x．
点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练利用相似三角形的判定与性质．