Question

如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B(8，6)、C(10，0)，动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位／秒；同时，线段DE由BC出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位／秒，交OB于点N，连接DM，设运动时间为t秒(0＜t＜8)．

(1) 当为何值时，DM∥OA?

（2）连接ME，在点M、N重合之前的运动过程中，五边形DMECB的面积是否发生变化？若不变，请求出它的值；若发生变化，请说明理由．

（3）当t为何值时，△DMB为等腰三角形.

 

【解析】(1) 首先用t表示出BD、BM的长，若DM∥OA, 根据比例线段求出t的值

（2）易求得OB=OC=10，即可知BM=OE=10-t，而BD=OM=t，且∠DBM=∠MOE，即可证得△BDM≌△OME，因此五边形的面积可转化为△OBC的面积，因此五边形的面积是定值，以OC为底、OA为高，即可求得△OCB的面积，也就是这个定值的大小

(3)根据BD=BM，BD=DM，BM=MD三种情况分析，

 

Answer 1

【答案】

(1) 若DM∥OA, 则△BDM∽△BAO

，即，解得t= ；

 (2) 在△BDM与△OME中，

BD=OM=t，∠MBD=∠EOM，BM=EO=10-t，

所以△BDM≌△OME；

从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因此它是一个定值，

S_{五边形DMECB}=S_△BOC=30．

(3)若BD=BM,则t=10-t,得 t=5;

若BD=DM, 过点D 做DF⊥OB,得△BDF∽△BOA,列出方程，

解得 t=；

若BM=MD, 过点M 做MG⊥AB,得△BGM∽△BAO,列出方程,

解得 t=；

综上所述，当t=5、、时，△BDM为等腰三角形…………………12分