Question

如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA，OC分别落在x，y轴的正半轴上，连接AC，且AC=4

5

，

OC

OA

=

1

2

．
（1）求AC所在直线的解析式；
（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后重叠部分的面积；
（3）求EF所在直线的函数解析式；
（4）若过一定点P的任意一条直线h总能够把矩形OABC的面积平均分为两部分，则顶点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设OC=x，则OA=2x，在Rt△OAC中，根据勾股定理得到AC=

5

x，则

5

x=4

5

，解得x=4，得到A（8，0），C（0，4），然后利用待定系数法确定直线AC的解析式；
（2）设CE=t，根据折叠的性质得CE=AE=t，∠AEF=∠CEF，则OE=OA-AE=8-t，再根据勾股定理得到4²+（8-t）²=t²，解得t=5，即CE=5，接着利用BC∥OA得到∠CFE=∠AEF，则∠CFE=∠CEF，所以CF=CE=5，然后根据三角形面积公式计算S_△CEF；
（3）先确定E和F点的坐标，然后利用待定系数法确定直线EF的解析式；
（4）根据重心的性质得到经过矩形OABC的对角线的交点的直线总能够把矩形OABC的面积平均分为两部分，然后根据线段中点坐标公式求解．

解答：解：（1）设OC=x，则OA=2x，
在Rt△OAC中，AC=

OC2+OA2

=

5

x，
∴

5

x=4

5

，解得x=4，
∴OC=4，OA=8，
∴A（8，0），C（0，4），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），C（0，4）代入得

8k+b=0 b=4

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
∴AC所在直线解析式为y=-

1

2

x+4；
（2）设CE=t，
∵纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），
∴CE=AE=t，∠AEF=∠CEF，
∴OE=OA-AE=8-t，
在Rt△OCE中，∵OC²+OE²=CE²，
∴4²+（8-t）²=t²，解得t=5，
即CE=5，
∵BC∥OA，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE=5，
∴S_△CEF=

1

2

•5•4=10，
即折叠后重叠部分的面积为10；
（3）∵OE=OA-AE=3，
∴E点坐标为（3，0），
∵CF=5，
∴F点坐标为（5，4），
设直线EF的解析式为y=mx+n，
把E（3，0）、F（5，4）代入得

3m+n=0 5m+n=4

，
解得

m=2 n=-6

，
∴直线EF的解析式为y=2x-6；
（4）经过矩形OABC的重心的直线总能够把矩形OABC的面积平均分为两部分，而矩形OABC的重心为对角线的交点，即线段AC的中点，线段AC的中点坐标为（4，2）．
故答案为（4，2）．

点评：本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握矩形的性质和折叠的性质；会利用待定系数法求函数解析式．