Question

如图1， 在直角梯形ABCD中，，90°，，.点从点D出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连结AC交NP于点Q，连结MQ．

设运动时间为t秒.

（1）填空:AM=        ,AP=         ．(用含t的代数式表示)

（2）t取何值时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半；

（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻，使四边形AQMK 为正方形？并说明理由．

Answer 1

解：（1）AM=4-2t                                       ………………2分 

        AP=1+t                                        ………………4分

（2）∵梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半

∴              ………………6分

解得                                  ………………8分

∴当时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半   ………9分

（3） 存在

∵ ,

∴

∵ △AQM沿AD翻折，得△AKM

         ∴ QM=MK, AQ=AK

          ∠KAQ=2∠CAD=90°                        ………………11分

要使四边形AQMK为正方形

则 AQ=MQ                                                ………………12分

∵  ∴      ∴            ∴     ∴

∴ 当时，四边形AQMK为正方形                      ………………14分