题目内容
13．如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=$\sqrt{3}$，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x．（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．
分析 （1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．
（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上，当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，进而可求出x=2．
解答 （1）证明：连接OH，如图①所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．
∵HP∥AB，
∴∠ANH+∠BAD=180°．
∴∠ANH=90°．
∴HN=PN=$\frac{1}{2}$HP=$\frac{3}{2}$．
∵OH=OA=$\sqrt{3}$，
∴sin∠HON=$\frac{HN}{OH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠HON=60°
∵BD与⊙O相切于点H，
∴OH⊥BD．
∴∠HDO=30°．
∴OD=2$\sqrt{3}$．
∴AD=3$\sqrt{3}$．
∴BC=3$\sqrt{3}$．
∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．
∴tan∠BDA=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AB}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴AB=3．
∵HP=3，
∴AB=HP．
∵AB∥HP，
∴四边形ABHP是平行四边形．
∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，
∴BA与⊙O相切于点A．
∵BD与⊙O相切于点H，
∴BA=BH．
∴平行四边形ABHP是菱形．
（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上． 理由如下：
解：如图②所示，点G落到AD上．
∵EF∥BD，
∴∠FEC=∠CDB．
∵∠CDB=90°-30°=60°，
∴∠CEF=60°．
由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．
∴∠GED=60°．
∵CE=x，
∴GE=CE=x．ED=DC-CE=3-x．
∴cos∠GED=$\frac{ED}{GE}$=$\frac{3-x}{x}=\frac{1}{2}$．
∴x=2．
∴GE=2，ED=1．
∴GD=$\sqrt{3}$．
∴OG=AD-AO-GD=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∴OG=OM．
∴点G与点M重合．
此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．
∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．
点评 本题考查了和圆有关的综合题以及矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强．
| A． | ∠A+∠B=∠C | B． | ∠A：∠B：∠C=1：3：2 | ||
| C． | （b+c）（b-c）=a2 | D． | a=3+k，b=4+k，c=5+k（k＞0） |
如图，Rt△ABC的斜边AB=1，∠B=α，CD⊥AB，垂足为D点．| 成绩（单位：米） | 1.50 | 1.60 | 1.65 | 1.70 | 1.75 | 1.80 | 1.85 | 1.90 |
| 人数 | 2 | 3 | 2 | 4 | 5 | 2 | 1 | 1 |
| A． | 这些运动员成绩的中位数是1.70 | B． | 这些运动员成绩的众数是5 | ||
| C． | 这些运动员的平均成绩是1.71875 | D． | 这些运动员成绩的方差是0.0725 |
| A． | 分数 | B． | 有理数 | C． | 小数 | D． | 整数 |
如图，直线y=2x-4与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B，C，AD⊥x轴于点D．如果△BOC与△BDA的面积之比等于4：9，则k=30．