Question

1．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm²），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 从给出的图象中看，中间位置的图象一致，只要计算两边取值中的图象即可作出判断；
先计算点P从B到G时扫过的面积S，发现是二次函数，且开口向下，可以否定A和B，再计算点P从9≤t≤12时扫过的面积为正六边形的面积-△EMN的面积，计算得到一个开口向下的二次函数，由此作判断．

解答 解：由题意得：BP=t，
如图1，连接AC，交BE于G，
Rt△ABG中，AB=6，∠ABG=60°，
∴∠BAG=30°，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=3，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=2AG=6$\sqrt{3}$，
当0≤t≤3时，PM=$\sqrt{3}$t，
∴MN=2$\sqrt{3}$t，
S=S_△BMN=$\frac{1}{2}$MN•PB=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}{t}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$，
所以选项A和B不正确；
如图2，当9≤t≤12时，PE=12-t，
∵∠MEP=60°，
∴tan∠MEP=$\frac{PM}{PE}$，
∴PM=$\sqrt{3}$（12-t），
∴MN=2PM=2$\sqrt{3}$（12-t），
∴S=S_正六边形-S_△EMN，
=2×$\frac{1}{2}$（AF+BE）×AG-$\frac{1}{2}$MN•PE，
=（6+12）×3$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$（12-t）（12-t），
=54$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$（144-24t+t²），
=-$\sqrt{3}{t}^{2}$+24$\sqrt{3}$t-90$\sqrt{3}$，
此二次函数的开口向下，
所以选项C正确，选项D不正确；
故选C．

点评 本题考查了动点所在直线的运动问题，利用数形结合的思想，确定动直线扫过区域面积的几种可能，通过计算其解析式来判断．