Question

 (1)如图4­3­18(1)，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.求证：AE＝CF.

(2)如图4­3­18(2)，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A₁处，点B落在点B₁处，设FB₁交CD于点G，A₁B₁分别交CD，DE于点H，I.求证：EI＝FG.

　　　

图4­3­18

Answer 1

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OA＝OC.∴∠1＝∠2.

又∵∠3＝∠4，

∴△AOE≌△COF(ASA)．∴AE＝CF.

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.

由(1)，得AE＝CF.

由折叠的性质，得AE＝A₁E，∠A₁＝∠A，∠B₁＝∠B，

∴A₁E＝CF，∠A₁＝∠C，∠B₁＝∠D.

又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.

∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6.

在△A₁IE与△CGF中，

∴△A₁IE≌△CGF(AAS)．∴EI＝FG.