Question

【题目】在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图像于点，，点在该二次函数的图像上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．

（1）若点的横坐标为8．

①用含的代数式表示的坐标；

②点能否落在该二次函数的图像上？若能，求出的值；若不能，请说明理由；

（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）①；②能，；（2）或．

【解析】

（1）①求出点的坐标，直线直线的解析式即可解决问题．

②求出直线的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可．

（2）分两种情形：①当点在轴的右侧时，设，求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可．②当点在轴的左侧时，即为①中点的位置，利用①中结论即可解决问题．

解：（1）①点在的图象上，横坐标为8，

，

直线的解析式为，

点的纵坐标为，

，；

②假设能在抛物线上，

，

直线的解析式为，

点在直线上，纵坐标为，

，

的中点的坐标为，，

，，把点坐标代入抛物线的解析式得到．

（2）①当点在轴右侧时，设，所以直线解析式为，

∴，

，

直线的解析式为，可得，，

，，代入抛物线的解析式得到，，

解得，

直线的解析式为．

②当点在轴左侧时，即为①中点位置，

∴直线的解析式为；

综上所述，直线的解析式为或．