Question

11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线EF与AC平行，且与CD的延长线交于点E，与AB的延长线交于点F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）求证：KG²=KD•GE．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；
（2）如图2，连接GD．利用平行线的性质和圆周角定理得到∠KGD=∠E．又由（1）知∠KGE=∠GKE，则△GKD∽△EGK，所以由相似三角形的对应边成比例得到关于KG的比例式，由比例式的基本性质即可得到KG²=KD•GE．

解答 解：（1）如图1，连接OG．
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE；

（2）证明：如图2，连接GD．
∵AC∥EF，
∴∠C=∠E．
又∵∠C=∠AGD，
∴∠KGD=∠E．
又∵由（1）知∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴$\frac{KG}{GE}=\frac{KD}{KG}$，
即KG²=KD•GE．

点评 此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握各种几何图形定理及性质是解本题的关键．