Question

如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1，为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．

Answer 1

分析：根据题意画图分析．用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关键是表示另一边的长．借助三角形相似建立关系．

解答：解：如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN=x，PN=y，
则面积S=xy ①，
∵点P在AB上，由△APQ∽△ABF得，

4-y

2-(4-x)

=

1

2

，
即x=10-2y，
∴代入①，得S=（10-2y）y=-2y²+10y，
即S=-2(y-

5

2

)2+

25

2

，
因为3≤y≤4，而y=

5

2

不在自变量的取值范围内，
所以y=

5

2

不是最值点，
当y=3时，S=12；当y=4时，S=8，故面积的最大值是S=12，此时，钢板的最大利用率是80%．

点评：根据函数求出的最值与实际问题中的最值不一定相同，需注意自变量的取值范围．