Question

11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD平分∠BAC交圆于点D，CE平分∠ACB交AD于点E，连接BD，求证：BD=ED．

Answer 1

分析 连接CD，由AD平分∠BAC交⊙O于D得∠1=∠2，根据圆周角定理得$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，则BD=CD，再利用CE平分∠ACB交AD于点E，可得∠3=∠4，然后证明∠CED=∠DCE，根据等腰三角形的判定得到CD=ED，即BD=ED．

解答 证明：连接CD，如图所示，

∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠1=∠2，
∴得$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴BD=CD，
∵CE平分∠ACB交AD于点E，
∴∠3=∠4，
∵∠CED=∠2+∠3，
∵∠1=∠5，
∴∠DCE=∠4+∠5=∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠CED=∠DCE，
∴CD=ED，
即BD=ED．

点评 此题考查了圆周角定理，三角形的角平分线的定义，三角形外角的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是：添加辅助线，体现转化的思想．