Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

（1）求证：BC＝CD；

（2）求证：∠ADE＝∠ABD；

（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．

 

Answer 1

解：

 

（1）∵∠ABC＝90°，

∴OB⊥BC．

∵OB是⊙O的半径，

∴CB为⊙O的切线．

又∵CD切⊙O于点D，

∴BC＝CD；

（2）∵BE是⊙O的直径，

∴∠BDE＝90°．

∴∠ADE＋∠CDB ＝90°．

又∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD＋∠CBD＝90°．

由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD．

∴∠ADE＝∠ABD；

（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．

∴△ADE∽△ABD．

∴＝．

∴＝，∴BE＝3，

∴所求⊙O的直径长为3．