题目内容
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连接CE，（1）如果CE⊥AB，AB=CD，BE=3AE，求∠B的度数；
（2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，试求
| BE | AE |
分析：（1）首先延长BA与CD，然后根据面积的关系求得△MBC是等边三角形，即可得∠B为60°，
（2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得AE与BE的比．
（2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得AE与BE的比．
解答：解：（1）延长BA、CD相交于点M．如图1：
∵AD∥BC，
∴△MAD∽△MBC，
∴
=
=
．
∴MB=3MA．设MA=2x，则MB=6x．
∴AB=4x．
∵BE=3AE，
∴BE=3x，AE=x．
∴BE=EM=3x，E为MB的中点．
又∵CE⊥AB，
∴CB=MC．
又∵MB=MC，
∴△MBC为等边三角形．
∴∠B=60°；
（2）延长BA、CD相交于点F，如图2：
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∴
=(
)2=
，
设S△FAD=S3=a，则S△FBC=9a，S1+S2=8a，
又∵2S1=3S2，
∴S1=
a，S2=
a，S3=a．
∵△EFC与△CEB等高，
∴
=
=
=
．
设FE=7k，则BE=8k，FB=15k，
∴FA=
FB=5k．
∴AE=7k-5k=2k．
∴
=4．
∵AD∥BC，
∴△MAD∽△MBC，
∴
| AD |
| BC |
| MA |
| MB |
| 1 |
| 3 |
∴MB=3MA．设MA=2x，则MB=6x．
∴AB=4x．
∵BE=3AE，
∴BE=3x，AE=x．
∴BE=EM=3x，E为MB的中点．
又∵CE⊥AB，
∴CB=MC．
又∵MB=MC，
∴△MBC为等边三角形．
∴∠B=60°；
（2）延长BA、CD相交于点F，如图2：
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∴
| S△FAD |
| S△FBC |
| AD |
| BC |
| 1 |
| 9 |
设S△FAD=S3=a，则S△FBC=9a，S1+S2=8a，
又∵2S1=3S2，
∴S1=
| 24 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∵△EFC与△CEB等高，
∴
| FE |
| EB |
| S△FEC |
| S△ECB |
| S3+S2 |
| S1 |
| 7 |
| 8 |
设FE=7k，则BE=8k，FB=15k，
∴FA=
| 1 |
| 3 |
∴AE=7k-5k=2k．
∴
| BE |
| AE |
点评：本题考查了如果三角形的高相等，则面积比等于其底边的比．解此题的关键是准确地作出辅助线与数形结合思想的应用，难度适中．
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