Question

《时代数学学习》杂志编辑部为了更好地提高杂志质量，邀请了20位同学围坐在会议桌旁召开座谈会，会上备有足量的各期杂志供大家任意选取，每人可取任意多本，座谈会结束时，统计一下每人所取杂志的本数，发现总有一些座位连在一起的人（可以1人或可含全部），他们所取的杂志的本数的和是20的整数倍．为什么？

Answer 1

分析：设出这20个数，表示出连续相邻数的和，利用有余数的除法解答即可．

解答：解：20人围成一圈，任选一人开始，依顺时针方向（也可以依逆时针方向），设20人所取本书分别为a₁，a₂，a₃，a₄，…a₂₀；
令S₁=a₁，S₂=a₁+a₂，…
S_K=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_k（k=1，2，3…20）；
如果S_K中有一个数为20的倍数，本结论成立；
若S_K中没有一个数为20的倍数，则S_K被20除的余数为r_k（k=1，2，3…20）=1，2，3，…19共19个余数，
因此r₁，r₂，…r₂₀中至少有两个相同，不妨设r_i=r_j（1≤i≤j≤20），
此时S_i-S_j=a_i+1+a_i+2+…a_j为20的倍数，
即相邻的第i+1，i+2，…至第j个人，他们所取本数的和是20的倍数．

点评：此题主要考查利用有余数的除法解决问题，也可用抽屉原理解答．