题目内容

小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB=3，BC=5．点P在AD上，且AP=2．一球从点P处沿与AD夹角为的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE=QR，PE=PQ+QR．

请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：
（1）当点P0与点P重合时，此球所经过的路线总长度
2
34
2
34
；
（2）当点P0与点A重合时（如图③），求此球所经过的路线总长度；
（3）当点P0落在线段AP上时，求tanθ的取值范围．
分析：（1）将矩形ABCD沿CD翻折，找到点R关于CD的对称点R'，连接R'P，过点P作PF⊥BC于点F，根据反射角等于入射角，可判断△PER'是等腰三角形，求出PE的长度，即可确定球经过的路线总长度．
（2）将矩形ABCD沿CD翻折，找到点R关于CD的对称点R'，连接R'P，过点M作MN⊥AD于点N，根据
AP
ER′
=
PM
ME
=
2
10
=
1
5
，得出
PM
PE
=
MN
EF
=
1
6
，再由EF=3，求出MN，在Rt△PMN中利用勾股定理求出PM，继而可得出PE，也可得出此球运动的路线长；
（3）根据（1）（2）分别确定tanθ的值，继而可确定当点P0落在线段AP上时，tanθ的取值范围．
解答：解：（1）如图，

将矩形ABCD沿CD翻折，找到点R关于CD的对称点R'，连接R'P，过点P作PF⊥BC于点F，如图1所示：
由题意可得，CR=CR'，BR=BE，
∴ER'=2BC=10，
由入射角等于反射角，易得RQ∥PR'，
∴∠ER'P=∠ERQ，
由折叠的性质可得：∠ERQ=∠REQ，
∴∠ER'Q=∠REQ，
∴△PER'是等腰三角形，
∴EF=
1
2
ER'=5，
在Rt△EPF中，EP=
PF2+EF2
=
34
，
∴当点P0与点P重合时，此球所经过的路线总长度=EP+PR'=2EP=2
34
；

（2）如图，

将矩形ABCD沿CD翻折，找到点R关于CD的对称点R'，连接R'P，过点M作MN⊥AD于点N，如图2所示：
由题意可得，CR=CR'，BR=BE，
∴ER'=2BC=10，
∵AD∥BC，
∴
AP
ER′
=
PM
ME
=
2
10
=
1
5
，
∴
PM
PE
=
MN
EF
=
1
6
，
∵EF=3，
∴MN=
1
2
，
∴PM=
PN2+MN2
=
5
2
，
∴PE=3
5
，
∴当点P0与点A重合时，此球所经过的路线总长度=PE+AR'=2PE=6
5
．

（3）由（1）可得，当点P0与点P重合时，tanθ=
3
5
；
由（2）得，当点P0与点A重合时，tanθ=
1
2
；
综上可得当点P0落在线段AP上时，0.5≤tanθ≤0.6．
点评：本题属于几何变换的综合问题，主要考查对勾股定理，矩形的性质，轴对称性质，解直角三角形，翻折变换等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意题目提示的解题方法．
练习册系列答案
相关题目
阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，
精英家教网
问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E．
请你参考小贝的思路解决下列问题：
（1）P点第一次与D点重合前与边相碰
 
次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是
 
cm；
（2）近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为
 
．
小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB=3，BC=5．点P在AD上，且AP=2．一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．
小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE=QR，PE=PQ+QR．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：
（1）点P0与点A重合时，此球所经过的路线总长度是
 
．
（2）当点P0落在线段AP上时（如图③），求tanθ的取值范围．
精英家教网
小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB=3，BC=5．点P在AD上，且AP=2．一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．
小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE=QR，PE=PQ+QR．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：
（1）点P与点A重合时，此球所经过的路线总长度是______
（2010•北京）阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，

问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E．
请你参考小贝的思路解决下列问题：
（1）P点第一次与D点重合前与边相碰______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是______

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网