Question

阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，

问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A₁B₁CD，由轴对称的知识，发现P₂P₃=P₂E，P₁A=P₁E．
请你参考小贝的思路解决下列问题：
（1）P点第一次与D点重合前与边相碰

 

次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是

 

cm；
（2）近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为

 

．

Answer 1

分析：（1）此题可通过动手画图来得到所求的结论，需要掌握的规律是相邻的两个P点与矩形顶点所构成的都是等腰直角三角形，如：△ABP₁、△P₁P₂C、△P₂DP₃等．由图分析可知P点第一次与D点重合前与边相碰5次，所经过的路径的长=4AB

2

=24

2

．
（2）根据题（1）的规律，可设AB=x，BC=y，那么根据规律可知：AB=BP₁=x，CP₁=CP₂=y-x，DP₂=DP₃=x-（y-x）=2x-y，
AP₃=AP₄=y-（2x-y）=2y-2x，…依此类推，AP₇=AB=4y-4x；由于AB=x，则4y-4x=x，即4y=5x，故x：y=4：5；因此当P点第一次与B点重合前相碰7次，那么AB：AD=4：5．

解答：解：（1）5；

（2）24

2

；解题思路示意图：

（2）AB：AD=4：5．

点评：解决此题的关键在与掌握P点的运动规律，能够理解每两个相邻P点与矩形顶点所构成的三角形是等腰直角三角形，是解答此题的关键．