题目内容
12．已知长方形纸片ABCD．（1）如图①，点E在BC边上，连接AE将∠BAE对折，点B落在AE上的点B′处，使折痕AF；将∠DAE对折，点D落在AE上的D′处，得折痕AG，求∠FAG的度数；
（2）如图②，点E、K分别在BC、CD边上，连接AE、AK．将∠BAE对折，点B落在AE上的B′处，得折痕AF；将∠DAK对折，点D落在AK上的D′处，得折痕AG．设∠FAG=α，∠EAK=β，请写出α、β满足的数量关系式，并说明理由．
分析 （1）根据翻折不变性得到∠DAG=∠GAD′，∠EAF=∠EAB，由此即可解决问题．
（2）根据翻折不变性得到∠DAG=∠GAD′，∠EAF=∠FAB，推出∠GAK+∠EAF=45°-$\frac{1}{2}$∠KAE，再根据∠GAF=∠GAK+∠EAF+∠KAE即可解决问题．
解答 解：（1）如图①中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAG=∠GAD′，∠EAF=∠EAB，
∴2∠GAE+2∠EAF=90°，
∴∠GAF=∠GAE+∠EAF=45°．
（2）结论：∴α=45°+$\frac{1}{2}$β．
理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAG=∠GAD′，∠EAF=∠FAB，
∴2∠GAE+2∠EAF+∠KAE=90°，
∴∠GAK+∠EAF=45°-$\frac{1}{2}$∠KAE，
∵∠FAG=α，∠EAK=β，
∴α=45°-$\frac{1}{2}$β+β=45°+$\frac{1}{2}$β．
∴α=45°+$\frac{1}{2}$β．
点评 本题考查矩形的性质、翻折不变性等知识，解题的关键是灵活应用翻折不变性解决问题，属于基础题，中考常考题型．
练习册系列答案
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如图，AB∥CD，NB、ND分别平分∠ABM和∠MDC，求证：∠M=2∠N．