Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，△AOE是等腰三角形．

【解析】

（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；

（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．

（1）一次函数与反比例函数图象交于与，且轴，

，

在中，，，

，即，

根据勾股定理得：，

，

代入反比例解析式得：，即，

把坐标代入得：，即，

代入一次函数解析式得：，

解得：，即；

（2）当，即，；

当时，得到，即；

当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为，

垂直平分线方程为，

令，得到，即，

综上，当点或或或时，是等腰三角形．