Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C.D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．

（1）试说明：DE＝BF；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．

Answer 1

（1）见解析；（2）

解析试题分析：（1）由弧CB=弧CD可得CB=CD，∠CAB=∠CAE，再结合CF⊥AB，CE⊥AD可得△CED≌△CFB，根据全等三角形的性质即得结论；
（2）由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠DAB=60°，AB=6，解直角三角形ACB可以求出AC，BC，接着求出CF，BF，再证的△CAE≌△CAF，即可求出△ACD的面积．
（1）∵ 弧CB=弧CD 
∴CB=CD，∠CAB="∠CAE"
又∵CF⊥AB，CE⊥AD  
∴CE="CF"                   
∴直角△CED≌直角△CFB  
∴DE=BF；
（2）∵∠DAB=60°，
∴∠CAB=∠CAE=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，CB=AB=3，    
∵∠BCF+∠ABC=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠BCF=∠CAB=30°，
∴FB=CB=，，
RtΔCFB的面积，
由第1问可知，DE=BF，CE=CF，
则RtΔCED的面积=RtΔCFB的面积，AF=AB-FB=，
由第1问可知，AE=AF=，CE=CF，
∴
考点：本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质
点评：本题把角平分线，全等三角形放在圆的背景中，利用圆的有关性质和角平分线的性质来证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质解决问题．