题目内容

精英家教网如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）反比例函数y=
k
x
的图象的一个分支经过点C，并且另个分支与抛物线在第一象限相交．
①求出k的值；
②反比函数y=
k
x
的图象是否经过点A和点B，试说明理由；
③若点P（a，b）是反比例函数y=
k
x
在第三象限的图象上的一个动点，连接AB、PA、PB，请问是否存在这样的一点P使△PAB的面积为3？如果存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析：（1）根据待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中，即可求得抛物线的解析式；
（2）①根据C点的坐标即可求出反比例函数的解析式y=
2
x
；②由k的值等于2，若A，B两点的横纵坐标相乘等于2，则反比例函数就经过该点．③直接求△PAB的面积不容易，可以过P作PE∥x轴，作AD⊥PE于D，BE⊥PE于E，先求出四边形ABEP的面积，再减去△BPE的面积，即得△PAB的面积，令其等于3，即可求得满足条件的点P．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和
C（-2，-1）三点
∴
a+b+c=2
4a+2b+c=1
4a-2b+c=-1
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解得：
a=-
1
2
b=
1
2
c=2
（2分）
∴抛物线的解析式为y=-
1
2
x2+
1
2
+2（3分）

（2）①反比例函数y=
k
x
的图象的一个分支经过点C（-2，-1）
∴k=（-2）×（-1）=2（5分）
②由①知k的值为2，所以反比例函数的解析式为y=
2
x
，
∵1×2=2=k，
∴点A（1，2）在反比例函数y=
2
x
的图象上，
同理点B（2，1）也在反比例函数y=
2
x
的图象上，
即反比函数y=
k
x
的图象经过点A和点B，（8分）
③存在（9分）
设点P的坐标为（a，b）
因为点P（a，b）在y=
2
x
上，
所以点P的坐标为（a，
2
a
）
作PE∥x轴，作AD⊥PE，BE⊥PE，垂足分别为D、E．
则PD=-a+1，PE=-a+2，AD=-
2
a
+2，BE=-
2
a
+1（10分）
∴S△ADP=
1
2
AD•PD=
1
2
（-
2
a
+2）（-a+1）=-a-
1
a
+2
∴S梯形ABED=
1
2
（AD+BE）•DE=
3
2
-
2
a

∴S△BPE=
1
2
PE•BE=-
1
2
a-
2
a
+2
∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-
1
2
a-
1
a
+
3
2
（12分）
若△PAB的面积为3则-
1
2
a-
1
a
+
3
2
=3
∴a2+3a+2=0
∴a1=-1，a2=-2
经检验a1=-1，a2=-2都是方程-
1
2
a-
1
a
+
3
2
=3的解
所以点P的坐标为（-1，-2）或（-2，-1）（13分）
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，同时在求解三角形的面积时，要灵活的运用割补法进行求解．
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8、如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（　　）
如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-
1
2
，
9
8
），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
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