Question

如图，抛物线交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△0CA∽△0BC．

(1)求线段DC的长；

(2)求该抛物线的函数关系式；

(3)在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)

 令

∴.

∴A(2，O)，B(6，O)，则0A=2，OB=6．  

∵△0CA∽△0BC，∴，

即；

(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△OCA∽△OBC，∴. 

在Rt△ACB中，∠CAD=60°，∴AD=1，CD=∴C.

把C(3，)代入，

∴，∴；  

(3)存在，4个点． 

①以B顶点，BC为腰，以C为圆心，BC=为半径画弧，交轴于；

②以C为顶点，BC为腰，以C为圆心， 以 BC=OC=为半径画弧，交轴于点0、B(显然该点不符合题意)，∴点O为(0，0)．  

③以BC为底，，则∠2=∠1=30°，=60°，

∴△为等边三角形．则∴.