Question

如图，抛物线交轴于A、B两点（A点在B点左侧），交轴于点C，已知B（8，0），，△ABC的面积为8.

【小题1】求抛物线的解析式；
【小题2】若动直线EF（EF∥轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿轴负方向平移，且交轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动。连结FP，设运动时间秒。当为何值时，的值最大，并求出最大值；
【小题3】在满足（2）的条件下，是否存在的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【小题1】由题意知 ∠COB = 90°B(8，0)  OB="8" 在Rt△OBC中tan∠ABC =   
OC= OB×tan∠ABC = 8×="4" ∴C(0,4) 
   ∴AB =" 4 " A(4,0)
把A、B、C三点的坐标带入得解得 
所以抛物线的解析式为。
【小题2】C ( 0, 4 )  B ( 8, 0 )  E ( 0, 4-t ) ( t > 0)
OC =" 4 " OB =" 8 " CE =" t " BP="2t " OP ="8-2t "
∵EF // OB∴△CEF～△COB
∴ 则有    得 EF =" 2t"
=
当t=2时有最大值2.
【小题3】存在符合条件的t值，使△PBF与△ABC相似。
C ( 0, 4 )  B ( 8, 0 )  E ( 0, 4-t )  F(2t , 4 - t )  P ( 8-2t , 0 )
( t > 0)
AB =" 4  " BP="2t " BF =
∵ OC =" 4 " OB =" 8"  ∴BC =  
①当点P与A、F与C对应  则，代入得   解得 
②当点P与C、F与A对应  则，代入得  解得（不合题意，舍去）
综上所述：符合条件的和。

解析