题目内容

如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G，H，试求BG：GH：HF．

解：过F作FN∥BC，交AE于M，AD于N，
∵F为AC中点，
∴FM是△AEC中位线，
∴MF= $\text{[math]}$ CE，CE=2FM，
∵BD=DE=CE，
∴BE=2CE=4FM，
∵FM∥BC，
∴△FMH∽△BEH，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵FN是△ADC的中位线，
∴FN= $\text{[math]}$ CD=CE=BD，
∵FN∥BC，
∴△FNG∽△BDG，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BG=GF，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴FH= $\text{[math]}$ BF，
∵BG= $\text{[math]}$ BF，HF= $\text{[math]}$ BF，
∴GH=GF-HF= $\text{[math]}$ BF- $\text{[math]}$ BF= $\text{[math]}$ BF，
∴BG：GH：HF=（ $\text{[math]}$ BF）：（ $\text{[math]}$ BF）：（ $\text{[math]}$ BF）=5：3：2．
分析：过F作FN∥BC，交AE于M，AD于N，根据相似三角形性质和判定求出FH= $\text{[math]}$ DF，GH= $\text{[math]}$ BF，BG= $\text{[math]}$ BF，代入求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线分线段定理的应用，主要考查学生的推理能力．