Question

已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点， 交BD于点G，交AB于点F．

(1)求证：AC与⊙O相切；

(2)当BD＝2，sinC＝时，求⊙O的半径．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连接OE　　1分 　　∵AB＝BC且D是BC中点 　　∴BD⊥AC 　　∵BE平分∠ABD 　　∴∠ABE＝∠DBE 　　∵OB＝OE 　　∴∠OBE＝∠OEB 　　∴∠OEB＝∠DBE 　　∴OE∥BD 　　∴OE⊥AC 　　∴AC与⊙O相切　　2分 　　(2)∵BD＝2，sinC＝，BD⊥AC 　　∴BC＝4　　3分 　　∴AB＝4 　　设⊙O的半径为r，则AO＝4－r 　　∵AB＝BC 　　∴∠C＝∠A 　　∴sinA＝sinC＝ 　　∵AC与⊙O相切于点E， 　　∴OE⊥AC 　　∴sinA＝＝＝　　4分 　　∴r＝　　5分