Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）的顶点A在以E（1，1）为圆心，2为半径的圆上，且该抛物线经过⊙E与x轴的两个交点B、C，AE⊥x轴．
（1）请写出点A、B、C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上能否找到一点P，使线段PE与OA互相平分？如果能，写出P点坐标，如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据B、C两点在⊙E上，在Rt△BEH与Rt△CEH中，得出EB=EC=2，EH=1，进而求出B，C的坐标；
（2）利用交点式求出二次函数解析式即可；
（3）根据若满足条件的点P存在，四边EAPO一定是平行四边形，也即一定有AE∥OP，OP=AE，由AE∥OP，可知点P在y轴上，又知P在抛物线y=-（x-1）²+3上，即可的求出．

解答：解：（1）过A、E两点作直线AE交x轴于H，依题意AE⊥x轴，则点A的坐标为（1，3）
连接EB、EC，
∵B、C两点在⊙E上，在Rt△BEH与Rt△CEH中，
∵EB=EC=2，EH=1，
∴BH=CH=

3

，
∴OB=BH-OH=

3

-1；OC=OH+HC=1+

3

，
∴B（1-

3

， 0），C（

3

+1， 0）；

（2）根据交点式，设抛物线的解析式为y=a(x-1+

3

)(x-1-

3

)，
又∵点A（1，3）在抛物线上，
∴3=a(1-1+

3

)(1-1-

3

)，
解得a=-1，
故抛物线的解析式为y=-（x-1）²+3，
即y=-x²+2x+2，

（3）满足条件的P点存在．
若满足条件的点P存在，四边EAPO一定是平行四边形，也即一定有AE∥OP，OP=AE，
由AE∥OP，可知点P在y轴上，又知P在抛物线y=-（x-1）²+3上，
可令x=0，得y=2，
∴P（0，2），
此时恰好OP=AE=2，
所以P（0，2）为所求．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质以及交点式求二次函数解析式，以及平行四边形的性质，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．