Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-

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2

x2+bx-2的图象与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点（A点在B点右侧），一次函数y=mx+n（m≠0）的图象经过A、C两点，已知tan∠BAC=

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2

．
（1）求该二次函数和一次函数的解析式；
（2）连接BC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由二次函数y=-

1

2

x2+bx-2的解析式可求出和y轴交点的坐标即点C的坐标，由已知条件求出OA的长度进而求出点A的坐标，把A，C的坐标分别代入即可求出二次函数和一次函数的解析式；
（2）令y=0，求出B点的坐标即OB的长度，所以AB的长度可以求出，又因为AB上的高为OC，利用面积公式即可求出△ABC的面积．

解答：解：（1）在y=-

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2

x2+bx-2中，
令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∴OC=2，
在Rt△AOC中，OA=

OC

tan∠BAC

=4，
∴A（4，0）．
∵y=-

1

2

x2+bx-2过A（4，0），
∴0=-

1

2

×42+b×4-2，
∴b=

5

2

，
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2．
∵y=mx+n（m≠0）过A（4，0）、C（0，-2），
∴

0=4m+n -2=n

，
∴

m= 1 2 n=-2

．
∴y=

1

2

x-2；

（2）在y=-

1

2

x2+

5

2

x-2中，
令y=0，得x₁=1，x₂=4，
∴B（1，0），
∴OB=1，
∴AB=OA-OB=3，
∴S_△ABC=

1

2

×AB•OC=

1

2

×3×2=3．

点评：本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，解答本题的关键是进行数形结合进行解题，要熟练掌握二次函数和一次函数的性质，本题是一道比较不错的习题．