Question

【题目】如图，是直径，于点，连接交于点，过点作的切线交于点，连接交于点

（1）求证：

（2）连接并延长，交于点，填空：

①当的度数为_________时，四边形为菱形；

②当的度数为__________时，四边形为正方形；

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①30°；②22.5°

【解析】

(1)连接OC，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
(2)①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5"，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OGE=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形.

（1）证明：连接，如图：

∵是切线，

∴，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）①当∠D=30°吋,∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四辺形ECFG为菱形；

故答案为：30°；
②当∠D= 22.5 °时，∠DAO= 67.5°，

而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OGE=∠OCE=90° ，
∴.四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形，
故答案为：22.5°.