Question

在△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°、∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，∠ACP=

90

度；
（2）当α=15°时，求∠ADN的度数；
（3）在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出夹角α的大小．

Answer 1

分析：（1）根据平行线性质求出∠BCP，即可得出答案．
（2）求出∠ACP，根据三角形内角和定理求出∠PDC，即可得出答案；
（3）分为三种情况：当PC=PD时，当PD=CD时，当PC=CD时，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得出关于α的方程，求出即可．

解答：解：（1）∵PN∥BC，∠MPN=30°，
∴∠BCP=∠MPN=30°，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACP=∠ACB-∠BCP=90°，
故答案为：90．

（2）∵∠ACB=120°，∠PCB=15°，
∴∠PCD=∠ACB-∠PCB=105°，
∴∠PDC=180°-∠PCD-∠MPN=180°-105°-30°=45°，
∴∠ADN=∠PDC=45°．

（3）△PCD的形状可以是等腰三角形，
∠PCA=120°-α，∠CPD=30°，
①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形，
∠PCD=

1

2

（180°-∠MPN）=

1

2

（180°-30°）=75°，
即120°-α=75°，
解得：α=45°；
②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，
∠PCD=∠CPD=30°，
即120°-α=30°，
解得：α=90°；
③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，
∠PCD=180°-2×30°=120°，
即120°-α=120°，
解得：α=0°，
此时点P与点B重合，点D和A重合．
综合上述：当α=45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形，
即α的大小是45°或90°或0°．

点评：本题考查了等腰三角形性质和判定平行线性质的应用，注意要进行分类讨论．