Question

【题目】如图，已知点，且，满足.过点分别作轴、轴，垂足分别是点、.

（1）求出点的坐标；

（2）点是边上的一个动点（不与点重合），的角平分线交射线于点，在点运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由.

（3）在四边形的边上是否存在点，使得将四边形分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）的坐标为；（2）不变化，；（3）存在，点的坐标为，.

【解析】

（1）由绝对值和算术平方根的性质可知 ，故两者和为0时，各自都必须为0，即，由此可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明，所以比值不变化；（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.

解：（1）由得：

,解得：

∴点的坐标为

（2）不变化

∵ 轴

∴BC∥x轴

∴

∵ 平分

∴

∴

∴

（3）点P可能在OC,OA边上，如下图所示，

由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面积为15

若点P在OC边上，可设P点坐标为，则

三角形BCP的面积为，

剩余部分面积为 ，

所以 ，解得，

P点坐标为；

若点P在OA边上，可设P点坐标为，则

三角形BAP的面积为 ，

剩余部分面积为 ，

所以 ，解得，

P点坐标为.

综上,点的坐标为，.