Question

已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且OA=AB=AD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BE=8，tan∠BFA=，求⊙O的半径长．

Answer 1

解：（1）如图：
连接OB，
∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠D=∠OAB=30°．
∴∠DBO=∠ABD+∠OBA=30°+60°=90°．
即OB⊥BD，
∴DB是⊙O的切线．

（2）∵AC是直径，点B在⊙O上，
∴∠ABC=90°，
∴△ABF为直角三角形，
在直角△ABF中，由tan∠BFA=，设AB=a，则BF=2a，AF=3a，
∴cos∠BFA===．
∵∠C=∠E，∠AFC=∠BFE，
∴△AFC∽△BFE，
∴==，
∵BE=8，
∴AC=12．
因此圆的半径为6．
分析：（1）连接OB，得到△OAB是等边三角形，∠OBA=∠OAB=60°，再由AD=AB得到∠ABD=30°，所以∠DBO=90°，证明BD是⊙O的切线．
（2）在直角△ABF中，求出cos∠BFA的值，然后由△ACF∽△BEF，得到=，求出直径AC，再确定圆的半径的长．
点评：本题考查的是切线的判定，（1）根据题目的条件求出∠DBO的度数，证明DB是圆的切线．（2）利用三角函数求出的值，然后利用相似三角形求出直径的长，再确定圆的半径的长．