Question

如图：平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BCD的平分线交AD于F，且AB=3，DE=2，
（1）求平行四边形ABCD的周长．  
（2）求证：BE⊥CF               
（3）若CF=2，求BE的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，可得△ABE是等腰三角形，即可求得AD的长，继而求得答案；
（2）由平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BCD的平分线交AD于F，易证得∠CBE+∠BCF=90°，继而证得结论；
（3）首先过点E作EN∥CF，交BC的延长线于点N，然后由勾股定理求得BE的长．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AD=AE+DE=3+2=5，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（3+5）=16；

（2）证明：设BE与CF交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠CBE=

1

2

∠ABC，∠BCF=

1

2

∠BCD，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BMC=90°，
即BE⊥CF；

（3）解：过点E作EN∥CF，交BC的延长线于点N，
∵AD∥BC，
∴四边形EFCN是平行四边形，
∴CN=EF，EN=CF=2，
∵AB=AE=3，
同理：CD=DF=AB=3，
∴EF=AE+DF-AD=3+3-5=1，
∴CN=1，
∴BN=BC+CN=5+1=6，
在Rt△BEN中，BE=

BN2-EN2

=4

2

．

点评：此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．