Question

某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下的B处．在同一平面内，若测得斜坡BD的长为100米，坡角∠DBC=10°，在B处测得A的仰角∠ABC=40°，在D处测得A的仰角∠ADF=85°，过D点作地面BE的垂线，垂足为C．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求索道AB的长．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）利用点D处的周角即可求得∠ADB的度数；
（2）首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．

解答：解：（1）∵DC⊥CE，
∴∠BCD=90°．
又∵∠DBC=10°，
∴∠BDC=80°．                        （1分）
∵∠ADF=85°，
∴∠ADB=360°-80°-90°-85°=105°．  （2分）

（2）过点D作DG⊥AB于点G．              （3分）
在Rt△GDB中，
∠GBD=40°-10°=30°，
∴∠BDG=90°-30°=60°．             （4分）
又∵BD=100米，
∴GD=

1

2

BD=100×

1

2

=50米．
∴GB=BD×cos30°=100×

3

2

=50

3

米．    （6分）
在Rt△ADG中，∠ADG=105°-60°=45°，（7分）
∴GD=GA=50米．                        （8分）
∴AB=AG+GB=（50+50

3

）米．                （9分）
答：索道长（50+50

3

）米．               （10分）

点评：本题考查仰角的定义及直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．