Question

14．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．

解答 解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°-60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=2，
∴OD=1，
∴DC=$\sqrt{3}$，
∴BC=2DC=2$\sqrt{3}$，
故选C．

点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握垂径定理是关键，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数，从而得到△ODC是30°的直角三角形，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得到OD的长，从而得出弦BC的长．