题目内容
如图，在△ABC中，M，N分别是AB，AC边上一点，P是MN上一点，如果BM：AM=AN：CN=MP：NP，求证：S△PBC=2S△AMN．
【答案】分析：利用面积比等于相似比的平方求出三角形AMN的面积、三角形BMP的面积、三角形CNP的面积．再求出三角形PBC的面积．
解答：设BM：AM=AN：CN=MP：NP=n，
则AB：AM=n+1，AC：AN=
，
MN：NP=n+1，MN：MP=
设S△AMN=1，∵∠MAC=∠BAC，
∴
故
又∠BMP与∠AMN互补，
∴
故
，同理可证：
∴
故S△PBC=2S△AMN．
点评：考查了利用正弦定理计算相似三角形面积的能力．相似三角形面积之比等于相似比的平方．
解答：设BM：AM=AN：CN=MP：NP=n，
则AB：AM=n+1，AC：AN=
，MN：NP=n+1，MN：MP=
设S△AMN=1，∵∠MAC=∠BAC，
∴
故
又∠BMP与∠AMN互补，
∴
故
，同理可证：
∴
故S△PBC=2S△AMN．
点评：考查了利用正弦定理计算相似三角形面积的能力．相似三角形面积之比等于相似比的平方．
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