Question

如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

Answer 1

解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．  

由已知，AM＝x，AN＝20－x．
∵　四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30º，
∴　∠PAN＝∠D＝30º．
在Rt△APN中，PN＝（20－x），
即点N到AB的距离为（20－x）．        
∵　点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，
∴　x的取值范围是　0≤x≤15．              
（2）根据（1），S_△AMN＝AM•NP＝x（20－x）＝=－(x-10)+25．  
∴　当x＝10时，S_△AMN有最大值．
又∵　S_{五边形BCDNM}＝S_梯形－S_△AMN，且S_梯形为定值，
∴　当x＝10时，S_{五边形BCDNM}有最小值．  
当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN．
则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形． 

（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．根据直角三角形30º的角所对的直角边等于斜边的一半可表示出PN即为点N到AB的距离，由点M、N的位置即可得到x的取值范围；
（2）先用含x的代数式表示出△AMN的面积，根据函数解析式的特征可得△AMN的面积最大值时的情况，此时五边形BCDNM面积最小。