Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点Ａ坐标为（2，4），直线x＝２与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
【小题1】求线段OA所在直线的函数解析式
【小题2】设抛物线顶点M的横坐标为m,
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
【小题3】当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），
∴, ,
∴所在直线的函数解析式为.------------------2分
【小题2】①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.                                     
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为.
∴当时，（0≤≤2）.
∴点的坐标是（2，）  -------------------------------4分
② ∵==，又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短.   -------------------------------6分
【小题3】当线段最短时，此时抛物线的解析式为.
假设在抛物线上存在点，使.
设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，
∴，∴，∴点的坐标是（0，）. -------------------------------7分
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.∴=.
解得，即点（2，3）.∴点与点重合. -------------------------------8分
∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，∴解析