Question

如图8-1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．

（1）如图8-1中，PG与PC的位置关系是　　　　　，数量关系是　　　　；（2分）

（2） 如图8-2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC；（3分）

（3）如图8-3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求的值

Answer 1

（1）,；

（2）证明：延长GP交CD于H，∵P是DF的中点，    ∴DP=FP                         

        由题意得矩形ABCD和矩形BEFG，点A，B，E在同一条直线上

∴DC∥GF∴∠HDP=∠GFP

又∵∠HPD=∠GPF

        ∴△DPH≌△FPG (ASA)           

        ∴HP=GP                       

        又∵∠HCG=90º，∴Rt△HCG中,P为HG的中点

        ∴PC=       即：PG=PC  

（3）解：延长GP交CD于H，  ∵P是DF的中点，      ∴DP=FP                         

        由题意在菱形ABCD和菱形BEFG，点A，B，E在同一条直线上

∴DC∥GF   ∴∠HDP=∠GFP

又∵∠HPD=∠GPF   ∴△DPH≌△FPG (ASA)         

        ∴HP=GP   DH=FG              

        又∵CD=CB，FG=GB ∴CD－DH=CB－FG即：CH=CG                   

∴△HCG是等腰三角形，

∴PC⊥PG    ∠HCP=∠GCP   (等腰三角形三线合一)

又∵∠ABC=60º∴∠GCP =∠DCB= 60º

∴Rt△CPG中          

（其他证明方法和解法参考给分）