Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．

（1）求证：EF是⊙O的切线．

（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）π

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；

（2）根据圆周角定理求得∠ACB＝90°，然后利用含30°直角三角形的性质求得AB＝2BC＝4，然后用弧长公式即可得到结论．

解：（1）连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴AD∥OC，

∵∠AEC＝90°，

∴∠OCF＝∠AEC＝90°，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠CAO＝30°，BC＝2，

∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，

∴OB＝AB＝2，

∴的长为：＝．